Omega 的分割 | Omega's Partitionary

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(题目中,我们用一“块”代指一个多格骨牌。)
(In this problem, each "piece" is a polyomino.)

下面是一道有意思的题目:
Here's a nice problem for y'all:

对于所有正整数 n,求最小的 k 使得你可以将一个 n × n 的区域分割成 n 块(每块大小任意),重新摆放其中 k 块,使得不存在任何方式选择剩余 n-k 中的一块继续摆放(允许旋转和翻转)?
For each n, find the minimum k in terms of n such that you can dissect a n × n square grid into n polyomino pieces (of any size), rearrange k of these pieces onto the same grid, and be left with no way to select a piece from any of the n-k other pieces and add it to the grid, allowing rotation and reflection.

以下是 n=5,k=2 时的一个例子:
Here is an example, with n=5 and k=2:

dissection

在如上图所示分割并重组其中两块之后,剩余三块中没有任何一块可以继续摆放,所以 n=5 时 k 至少可以小到 2。
After disecting our 5×5 grid as above, we can place the 2 pieces again as shown. Then, none of the other pieces can fit in, so an upper bound on the minimum k is 2.

如果要求 n 块的每一块都面积为 n 的话,结果又如何呢?
What if you restrict all polyomino pieces to n-minos?

题目出自 Omega_3301,经许可后发出。
Problem credit goes to Omega_3301, posted with permission.

希望你喜欢!
Enjoy!

1 Answers

尝试了$5\leq n\leq11$,$k=2$

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2026-2-13:$n=5$,$k=1$
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这个是对于面积相等的情况,是吧;还有可以优化的地方

不,指的是 k 可以更小

面积相等应该是更强的结论吧?
我觉得优化可能需要图论的知识,这方面我几乎是小白,期待其他人的努力。

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