定义“幂数”为所有能表示为$a^b$的数，其中$a,b$都是不小于2的正整数，令$A$为所有幂数的集合。则：$$\sum_{x∈A} \frac{1}{x-1}$$的极限存在吗？能求得具体值吗？
1 Answers
这个是 哥德巴赫-欧拉定理：
$$
\sum_{x\in A}^{\infty}\frac{1}{x-1}=1
$$
首先给出调和级数：
$$
H=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots
$$
又有
$$
\begin{aligned}
1&=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots\\
\frac{1}{2}&=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots\\
&\cdots
\end{aligned}
$$
故
$$
\begin{aligned}
H-1&=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\cdots\\
H-1-\frac{1}{2}&=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{10}+\cdots\\
&\cdots\\
H-1&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\cdots
\end{aligned}
$$
从而有
$$
\begin{aligned}
H-(H-1)=1&=\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\cdots\\
&=\sum_{x\in A}^{\infty}\frac{1}{x-1}
\end{aligned}
$$
即证。
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