求解函数方程

条件简记为：$$fg^2=g^3f\dots\dots(1)$$ $$gf^3=f^2g\dots\dots(2)$$
由$(1)(2)$：$$fg^2f^2=g^3ff^2=g^2gf^3=g^2f^2g\dots\dots(3)$$
由$(3)$:$$f^2g^2f^2=fg^2f^2g=g^2f^2g^2\dots\dots(4)$$
由$(4)$:$$g^4f^2g^2=g^2f^2g^2f^2=f^2g^2f^4\dots\dots(5)$$
由$(1)(2)(5)$:$$gfg^2g^3f=gg^3ffg^2=g^4f^2g^2=f^2g^2f^4=f^2ggf^3f=gf^3f^2gf\dots\dots(6)$$
由$f,g$可逆知这些等式满足左消去律与右消去律。
在$(6)$左消去$gf$,右消去$gf$可知：$$g^4=f^4\dots\dots(7)$$
再由$(1)(2)$:$$f^2gg^3f=gf^3fg^2\dots\dots(8)$$
$(8)$中代入$(7)$可知:$$g^7=f^7\dots\dots(9)$$
由$(7)(9)$可知$$f(x)=g(x)=x$$
即证。