n元不等式证明或证伪

对于$a_i＞0$，$i=1,2,…,n$是否恒有：

$$\frac{(n-1)^{n-1}}{n^n}\biggl(\sum_{i=1}^{n}a_i\biggr)^n
\ge\Bigl[(n-1)^{n-1}-n\Bigr]\prod_{i=1}^{n}a_i
+\sum_{i=1}^{n}a_i^{n-1}a_{i+1},\quad \text{其中 }a_{n+1}=a_1.$$