希尔伯特零点定理应用

这里假设 $f_1,\dots,f_n \in R[T_1,\dots,T_n]$, 那么显然也有 $f_1,\dots,f_n \in k[T_1,\dots,T_n]$. 因为它们在 $k^n$ 没有公共零点，所以没有包含 $(f_1,\dots, f_n)$ 的极大理想。故 $(f_1,\dots,f_n) = k[T_1,\dots,T_n]$. 即

$$a_1f_1 + \dots + a_n f_n =1$$

其中 $a_i \in k[T_1,\dots, T_n]$,

设 $K = \text{Frac}(R)$ 即 $R$ 的分式域，有 $R\subseteq K \subseteq k$。求 $$a_1f_1 + \dots + a_n f_n =1$$ 中的 $a_i$ 本质上是解线性方程。

假设我们有线性方程 $AX = b$, 其中 $A,b$ 都是 $K$ 上的。如果在 $k$ 中有解，这是完全可以推出 $AX =b$ 在 $K$ 中有解。

那也就不妨设 $a_i = g_i/s_i \in K[T_1,\dots, T_n]$, 其中 $g_i \in R[T_1,\dots,T_n]$, $s_i \in R/{0}$. 设 $r= s_1s_2 \dots s_n$. 我们就有

$$\lambda_1 f_1 + \dots + \lambda_nf_n =r.$$

后面按照提示即可。