用长为4宽为9的小长方形能拼成边长为6×2025的正方形吗？

根据 de Bruijn 和 Klarner 的定理：
一个 $m\times n$ 的整数网格矩形，可被 $a\times b$ 矩形完全铺满，当且仅当：

1. 面积整除：

$$
ab\mid mm
$$

2. 第一行和第一列能被覆盖：

$$
\exists_{x_1,x_2,y_1,y_2\geq0},((m=ax_1+by_1)\wedge(n=ax_2+by_2))
$$

3. 边长对应：

$$
(a\mid m \vee b\mid m)\wedge(a\mid n \vee b\mid n)
$$

下面来看 $4\times 9$ 矩形铺满 $12150\times 12150$ 正方形，考虑

1. $(6\times 2025)^2=36\times 2025^2=(4\times 9)\times 2025^2$ ，故满足。
2. $12150=4\times 9+9\times 1346$ ，故满足。
3. 由于 $m=n=12150$ 故必有 $4 \mid 12150$ 且 $9 \mid 12150$ 而 $12150\equiv 2 (\pmod 4)$ 矛盾！

故不能。

给大正方形的第k行第j列的小正方格赋值i^(k+j)，其中i为虚数单位。
注意到4×9的小长方形放入正方格后在所给赋值下所包括的和为0，但是大正方形在所给赋值下和不为0。则不能拼成。