标题要六个字

有名的拼图问题：Fourteen Proofs of a Result About Tiling a Rectangle

对于 $\mathbb{R}^3$ 中一个长方体 $B:[x_1,x_2]\times[y_1,y_2]\times[z_1,z_2]$，其边长分别是 $a=x_2-x_1,b=y_2-y_1,c=z_2-z_1$

考虑其上的一个三重积分：

$$
\begin{aligned}
I(B)&=\iiint_{B}e^{2\pi i(x+y+z)}\mathrm{~d}x \mathrm{~d}y \mathrm{~d}z\\\\
&=\left(\int_{x_1}^{x_2}e^{2\pi ix}\mathrm{~d}x\right)\left(\int_{y_1}^{y_2}e^{2\pi iy}\mathrm{~d}y\right)\left(\int_{z_1}^{z_2}e^{2\pi iz}\mathrm{~d}z\right)\\\\
&=\dfrac{e^{2\pi i(x_1+y_1+z_1)}}{(2\pi i)^3} \left(e^{2\pi ia}-1\right)\left(e^{2\pi ib}-1\right)\left(e^{2\pi ic}-1\right)
\end{aligned}
$$

于是有，$I(B)=0$ 当且仅当 $a,b,c$ 中至少有一个是整数

那么显然命题成立