设$f(x)\in C[a,b]$，$f(a)<f(b)$，又设对一切$x\in(a,b)$，
$$\lim_{t\to 0}\frac{f(x+t)-f(x-t)}{t}=g(x)$$
存在。
试证：$\exists c\in(a,b$)，使$g(c)\geq 0$。
请指出我的证明是否存在问题：
$(f(x)\in C[a,b],f(a)<f(b))$
$\Rightarrow (\exists a_1<b_1\in(a,b) s.t. f(a)<f(a_1)<f(b_1)<f(b))$
$\Rightarrow (\exists a_2<b_2\in(a_1,b_1) s.t. f(a_1)<f(a_2)<f(b_2)<f(b_1))$
$\Rightarrow (\exists a_i<b_i\in(a_{i-1},b_{i-1}) s.t. f(a_{i-1})<f(a_i)<f(b_i)<f(b_{i-1}))$
$Let\ t=\frac{b_i-a_i}{2}$
$g\left(\lim_{i\to \infty}\frac{a_i+b_i}{2} \right)=\lim_{i\to \infty}\frac{f(\frac{a_i+b_i}{2}+\frac{b_i-a_i}{2})-f(\frac{a_i+b_i}{2}-\frac{b_i-a_i}{2})}{\frac{b_i-a_i}{2}}$
$=\lim_{i\to \infty}\frac{f(b_i)-f(a_i)}{\frac{b_i-a_i}{2}}>0$