设 $R$ 是交换环，且作为理想 $R$ 是主理想。证明：$R$ 一定有幺元。
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设$R=aR$，则$a\in R=aR\Rightarrow a=ab\Rightarrow a(x-bx)=0\Rightarrow 0=(x-bx)aR=(x-bx)R\Rightarrow x-bx=0\Rightarrow b\text{为单位}\square$
Lunifans
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设 $R$ 是交换环，且作为理想 $R$ 是主理想。证明：$R$ 一定有幺元。
设$R=aR$，则$a\in R=aR\Rightarrow a=ab\Rightarrow a(x-bx)=0\Rightarrow 0=(x-bx)aR=(x-bx)R\Rightarrow x-bx=0\Rightarrow b\text{为单位}\square$
