试求所有的正整数组$(a,b,k)$，让$$ka^b=b^a+1$$
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若 $a,b$ 中有 $1$ 较平凡，设 $a,b>1$ ，则 $2\not\mid a$ （否则 $4\mid a^b\mid (b^{\frac a2})^2+1\in 4\mathbb Z+{0,1}$ ，不可能。）取 $a$ 最小素因子 $p$ ，$a=p^rx(p\not\mid x)$ ，则$p\mid a^b\mid b^a+1\mid b^{2a}-1$，结合Fermart小定理有$p\mid b^{\text{gcd}(2a,p-1)}=b^2-1$，故 $p\mid b+1$ 。结合升幂引理(LTE)有 $br=v_p(a^b)\leq v_p(b^a+1)=v_p(b+1)+r\leq \log_3(b+1)+r$ ，从而 $b=2,p=3,r=1$ 。有 $x^2\mid 8^x+1$ ，故技重施，当 $x>1$ 时，设 $x$ 最小素因子 $q＞3$ ，则 $q\mid 8^{\text{gcd}(2x,q-1)}-1=63$ ，从而 $q=7$ ，但 $7\not\mid 8^x+1$ ，矛盾，故 $x=1$.
