R²上点的性质探究

如图，单位圆上的整数直角边的三角形中某个锐角旋转偶数倍得到。其中些点在圆中构成了一个稠密集，彼此之间均为有理距离。

注意到有用的恒等式：$$(a^2-1)^2+(2a)^2=(a^2+1)^2$$
我们定义点$A_{i}$为：$$(\frac{1-t_{i}^2}{1+t_{i}^2},\frac{2t_{i}}{1+t_{i}^2})$$
其中$t_{i}$待定。
注意到$A_{i}=A_{j}$当且仅当$t_{i}=t_{j}$。
又有$A_{i}$在单位圆上，则$A_{i}$不三点共线。
计算得知:$$|A_{i}A_{j}|^2=\frac{4(t_{j}-t_{j})^2}{(1+t_{i}^2)(1+t_{j}^2)}$$
则只需令:$$t_{i}=\frac{2(i+1)}{(i+1)^2-1}$$
则有:$$1+t_{i}^2=(\frac{(i+1)^2+1}{(i+1)^2-1})^2$$
从而此时$$|A_{i}A_{j}|=\frac{2|t_{j}-t_{j}|}{\frac{(i+1)^2+1}{(i+1)^2-1}\frac{(j+1)^2+1}{(j+1)^2-1}}$$为有理数。容易验证此时$t_{i}≠t_{j}(i≠j)$。