良奈
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设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有连续的二阶导数，证明：
(I) 存在一点 $\xi \in [-1,1]$，使得 $\int_{-1}^{1} x f(x) \mathrm{d}x = \frac{1}{3} [2f'(\xi) + \xi f''(\xi)]$；
(II) 若 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内取得极值，则存在一点 $\eta \in (-1,1)$，使得$$\left| 2f'(\eta) + \eta f''(\eta) \right| \ge \frac{1}{2} \left| f(1) - f(-1) \right|$$
主要考虑 (II)。
令 $F(x) = xf(x)$，则：$$F'(x) = f(x) + xf'(x)$$
$$F''(x) = 2f'(x) + xf''(x)$$我们要证的目标即为 $|F''(\eta)| \ge \frac{1}{2}|f(1)-f(-1)|$。
利用极值点性质由题意，存在 $x_0 \in (-1, 1)$ 使得 $f(x)$ 在该点取得极值，故 $f'(x_0) = 0$。此时计算 $F(x)$ 在 $x_0$ 处的一阶导数：$$F'(x_0) = f(x_0) + x_0 \cdot 0 = f(x_0)$$
在 $x_0$ 处进行泰勒展开将 $F(x)$ 分别在 $x=1$ 和 $x=-1$ 处按泰勒公式（拉格朗日余项）展开到二阶：对于 $x=1$：$$F(1) = F(x_0) + F'(x_0)(1-x_0) + \frac{1}{2}F''(\xi_1)(1-x_0)^2$$代入 $F(1)=f(1)$， $F(x_0)=x_0f(x_0)$， $F'(x_0)=f(x_0)$：$$f(1) = x_0f(x_0) + f(x_0)(1-x_0) + \frac{1}{2}F''(\xi_1)(1-x_0)^2$$化简线性部分：$x_0f(x_0) + f(x_0) - x_0f(x_0) = f(x_0)$。得：$$f(1) = f(x_0) + \frac{1}{2}F''(\xi_1)(1-x_0)^2 \quad \cdots ①$$（其中 $\xi_1$ 介于 $x_0$ 和 $1$ 之间）对于 $x=-1$：$$F(-1) = F(x_0) + F'(x_0)(-1-x_0) + \frac{1}{2}F''(\xi_2)(-1-x_0)^2$$代入 $F(-1)=-f(-1)$（注意符号）：$$-f(-1) = x_0f(x_0) + f(x_0)(-1-x_0) + \frac{1}{2}F''(\xi_2)(1+x_0)^2$$化简线性部分：$x_0f(x_0) - f(x_0) - x_0f(x_0) = -f(x_0)$。得：$$-f(-1) = -f(x_0) + \frac{1}{2}F''(\xi_2)(1+x_0)^2$$整理得：$$f(-1) = f(x_0) - \frac{1}{2}F''(\xi_2)(1+x_0)^2 \quad \cdots ②$$（其中 $\xi_2$ 介于 $-1$ 和 $x_0$ 之间）
两式相减与介值定理由 $① - ②$ 得：$$f(1) - f(-1) = \frac{1}{2}F''(\xi_1)(1-x_0)^2 + \frac{1}{2}F''(\xi_2)(1+x_0)^2$$观察右边，这是一个关于 $F''(\xi_1)$ 和 $F''(\xi_2)$ 的线性组合。令 $A = \frac{1}{2}(1-x_0)^2 > 0$， $B = \frac{1}{2}(1+x_0)^2 > 0$。则上式为：$$f(1) - f(-1) = A \cdot F''(\xi_1) + B \cdot F''(\xi_2)$$我们将系数提出来构造“加权平均”：$$f(1) - f(-1) = (A+B) \cdot \left[ \frac{A}{A+B}F''(\xi_1) + \frac{B}{A+B}F''(\xi_2) \right]$$计算系数和 $A+B$：$$A+B = \frac{1}{2}[(1-x_0)^2 + (1+x_0)^2] = \frac{1}{2}[2 + 2x_0^2] = 1+x_0^2$$利用连续性：中括号内的项 $\frac{A}{A+B}F''(\xi_1) + \frac{B}{A+B}F''(\xi_2)$ 是 $F''(\xi_1)$ 和 $F''(\xi_2)$ 的加权平均值，也就是它们之间的一个数。因为 $F''(x)$ 连续，根据介值定理，必然存在 $\eta$ 在 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 之间（即 $\eta \in (-1, 1)$），使得：$$F''(\eta) = \frac{A F''(\xi_1) + B F''(\xi_2)}{A+B}$$所以，原等式变为：$$f(1) - f(-1) = (1+x_0^2) F''(\eta)$$
不等式放缩两边取绝对值：$$|f(1) - f(-1)| = (1+x_0^2) |F''(\eta)|$$即：$$|F''(\eta)| = \frac{|f(1) - f(-1)|}{1+x_0^2}$$因为 $x_0 \in (-1, 1)$，所以 $0 \le x_0^2 < 1$，进而 $1 \le 1+x_0^2 < 2$。分母越小，分数值越大，所以：$$\frac{1}{1+x_0^2} > \frac{1}{2}$$代入上式，得：$$|F''(\eta)| > \frac{1}{2} |f(1) - f(-1)|$$即：$$|2f'(\eta) + \eta f''(\eta)| \ge \frac{1}{2} |f(1) - f(-1)|$$
首先书写的问题。$\xi$ 和 $z$ 写的太像了。泰勒公式不是在 $0$ 处用的，是在 $x_0$ 处使用。然后两次泰勒公式对应的 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 是不一样的。
至于范围问题，应该看书上泰勒公式那一节。
我感觉不是不能在0用，而是在0用没有用上极值的条件？