找一个 $\lim_{x\to +\infty} f(x) =0$ 但是 $\lim_{x\to +\infty} f'(x) \neq 0$ 的例子。

$$f(x)=\dfrac{\sin(x^2)}{x}$$

首先，找一个单调函数$g(x)$，$(g\to 0,g'\to 0,x\to +\infty)$，如$\frac{1}{x}$之类；
然后，找一个有界的震荡函数$h(x)$，$(|h|\leq M,h'震荡,x\to +\infty)$，如$\sin(x)$之类；
令$f(x)=g(x)h(x)$，则
$$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}[g(x)h(x)]=\lim_{x\to +\infty}g(x)\lim_{x\to +\infty}h(x)=0$$
$$\lim_{x\to +\infty}f'(x)=\lim_{x\to +\infty}[g'(x)h(x)+g(x)h'(x)]=\lim_{x\to +\infty}[g(x)h'(x)]\cdots(1)$$
只需(1)RHS无极限或$\neq0$即可。
例：
$$f(x)=\frac{1}{x}\sin(x)\to 0,x\to +\infty$$
$$\frac{1}{x}(\sin(x))'=\frac{1}{x}\cos(x)\to 0,x\to +\infty\cdots(2)$$
（2）不满足条件，需要修改，使得$h'(x)$是$x$的同阶或高阶无穷大，考虑利用链式法则使得$h'(x)$含有$x$的高次幂的项，故改令$h(x)=\sin(x^n),n\geq 2$
$$f(x)=\frac{1}{x}\sin(x^n)\to 0,x\to +\infty$$
$$\frac{1}{x}(\sin(x^n))'=\frac{1}{x}x^{n-1}\cos(x)=x^{n-2}\cos(x)无极限,x\to +\infty$$