R²上点的性质探究

这是 Erdos-Anning Theorem：

考虑反证法。设这些点并非全部共线，那么必定有不共线三点 $A,B,C$,而有无限个点，必然可在其中取点 $P$。

记 $\max(AB,BC)=n\in\mathbb{Z}_+$ 考查三角形$ABP,BCP$ 有三角不等式

$$
|PB-PA|\leq AB\leq n\\
|PB-PC|\leq BC\leq n
$$

因此 $|PB-PA|,|PB-PC|$ 至多只有 $n+1$ 种可能取值方式，每取一值，$P$ 就对应地在某一条双曲线上且 $P$ 是以 $A,B$ 为焦点和 $B,C$ 为焦点的两簇双曲线的交点。而 $A,B,C$ 不共线，这两簇双曲线必不重合，又任意两条不同的双曲线至多有 $4$ 个交点，因此满足条件的 $P$ 至多有 $4(n+1)^2$ 个，这与无限个点 $P$ 矛盾！

此外，如果将「整数距离」替换为「有理距离」则存在无限个这样的点。