证明存在无穷多个 $x\in \mathbb{H}$ 使得 $x^2+1=0$

Question

设 $\mathbb{H}$ 是四元数体，证明存在无穷多个 $x\in \mathbb{H}$ 使得 $x^2+1=0$.

备注：四元数是形如这样的$a+bi + cj +dk$ 的数，其中 $a,b,c,d\in \mathbb{R}$,
$i^2= j^2 = k^2 =i j k =-1$.

ZCos666 · Accepted Answer

在二维平面上，只有两个旋转方向：顺时针和逆时针，对应复数域 $\mathbb{C}$ 中只有 $i$ 和 $-i$ 两个解

但在三维空间中，可以随便转，对应四元数体 $\mathbb{H}$ 中有无穷多个解

对任一可逆四元数 $q$，考虑 $x=qiq^{-1}$，于是有

$$
\begin{aligned}
x^2&=\left(qiq^{-1} ight)\left(qiq^{-1} ight)\\
&=qi\left(q^{-1}q ight)iq^{-1}\\
&=qi^2q^{-1}\\
&=-1
\end{aligned}
$$

在交换环（如 $\mathbb{R},\mathbb{C}$）中，$qiq^{-1}=iqq^{-1}=i$，共轭并不会产生新的解

但在非交换的 $\mathbb{H}$ 中，$i$ 的共轭类跑到了整个单位纯虚球面上