$n
eq -1,3,5$ 时，证明 $F= \mathbb{Q}[x]/(x^3-nx+2)$ 是域。

Question

对于整数 $n eq -1,3,5$ 时，证明 $F=\mathbb{Q}[x]/(x^3-nx+2)$ 是域。

ZCos666 · Accepted Answer

根据域扩张理论，往证 $x^3-nx+2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约

有理根定理：对于整系数方程

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$$

其中 $a_n,a_0 e0,a_i\in\mathbb{Z}(i=0,1,\cdots,n)$

若 $x=\dfrac{p}{q}$ 是方程的有理根，其中 $p,q\in\mathbb{Z},q e0,\gcd(p,q)=1$

则有 $p|a_0,q|a_n$

于是 $x^3-nx+2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上可约的充要条件是 $n\in\{-1,3,5\}$

$n \neq -1,3,5$ 时，证明 $F= \mathbb{Q}[x]/(x^3-nx+2)$ 是域。