怎么证明这道导数题？

令 $G(x)=e^{-\lambda x}\left[f'(x)-f(a)\right]$，则 $G(x)$ 在 $(-\zeta,\zeta)$ 上连续可导且 $G(-\zeta)=G(\zeta)=0$

由罗尔中值定理知，$\exists\eta\in(-\zeta,\zeta)\subseteq(-a,a)$，使得 $G'(\eta)=0$

即 $e^{-\lambda\eta}\left[f''(\eta)-\lambda f'(\eta)+\lambda f(a)\right]=0$

(1) 令 $F(x) = f(x) - x f(a)$,则 $F'(x) = f'(x) - f(a)$。
$$F(0) = f(0) - 0 \cdot f(a) = 0$$

$$\begin{aligned}
\int_0^a F(x) dx &= \int_0^a [f(x) - x f(a)] dx \\
&= \int_0^a f(x) dx - f(a) \int_0^a x dx \\
&= \frac{1}{2}a^2 f(a) - f(a) \cdot \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^a \\
&= \frac{1}{2}a^2 f(a) - \frac{1}{2}a^2 f(a) \\
&= 0
\end{aligned}$$

根据积分中值定理，必然存在一点 $c \in (0, a)$，使得：
$$F(c)(a - 0) = \int_0^a F(x) dx = 0 \Rightarrow F(c) = 0$$
再利用罗尔中值定理即得。

(2) 等有缘人做一下。