一个过滤引理证明的正确与否

最近在学代数，里面学到“纤维（fiber）”虽然只是一个名字，但是还是想问问来源。

设$f(x)\in C[a,b]$，$f(a)<f(b)$，又设对一切$x\in(a,b)$， $$\lim_{t\to 0}\frac{f(x+t)-f(x-t)}{t}=g(x)$$ 存在。 试证：$\exists c\in(a,b$)，使$g(c)\geq 0$。

希尔伯特零点定理应用

求助怎么变的

这个式子是怎么算出来的？