Zen Tofu 38

• asked Feb 11

$A(n)=\sum_{i=1}^{k}x_i^n$的递推关系

记$A(n)=\sum_{i=1}^{k}x_i^n$，若 $A(i)=a_i,i\in\{1,2,\cdots,k\}$，则$A(n)$是否存在递推公式？ 猜测源自以下问题的推广： 已知$x+y=1$，$x^2+y^2=2$。求$x^3+y^3$与$x^4+y^4$的值(一般地，求$x^n+y^n$)? 【解】 由$x+y=1,x^2+y^2=2$得$x+y=1,xy=-\frac{1}{2}$，由韦达定理知$x,y$是方程$t^2-t-\frac{1}{2}=0$的两根。...

离散数学

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SilF 53

• asked Feb 10

(小清新)彭色列闭合

以二次曲线 $\Gamma$ 上一点 $O$ 为圆心，作与 $O$ 关于 $\Gamma$ 的Fregier点关于$\Gamma$的极线相切的圆 $\omega$，证明 $\omega$ 与$\Gamma$ 满足Poncelet闭合.

平面几何

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SilF 53

• asked Feb 10

整系数多项式素因子量级

$f(x)\in\mathbb Z[x]$ 为不可约 $d＞1$ 次多项式，是否对任意 $\epsilon＞0$ ，存在无穷多个正整数 $n$ ，使得 $f(n)$ 有至少一个大于 $n^{d-\epsilon}$ 的素因子。

数论

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SilF 53

• asked Feb 9

类Pell方程的基础解数

$d$ 为无平方因子正整数，$N$ 为非零整数。记 $X^2-dY^2=1$ 的基本解为 $x_0+\sqrt d y_0$ 。 而对类Pell方程 $X^2-dY^2=N$ 的一组解可以生成无穷多组解：设 $x+\sqrt d y$ 为一组解，则 $(x+\sqrt d y)(x_0+\sqrt d y_0)^k$ 也是一组解。并且类Pell方程的解总是由某组基本解生成，但基本解并不总是唯一。例如 $x^2-5y^2=44$ 有两组基本解 $7+\sqrt 5,8+2\sq...

数论

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NumberBasher 1

• asked Feb 8

Omega 的分割 | Omega's Partitionary

（题目中，我们用一“块”代指一个多格骨牌。） (In this problem, each "piece" is a polyomino.) 下面是一道有意思的题目： Here's a nice problem for y'all: 对于所有正整数 n，求最小的 k 使得你可以将一个 n × n 的区域分割成 n 块（每块大小任意），重新摆放其中 k 块，使得不存在任何方式选择剩余 n-k 中的一块继续摆放（允许旋转和翻转）？ For each...

数学

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235711 145

• asked Feb 7

n元不等式证明或证伪

对于$a_i＞0$，$i=1,2,…,n$是否恒有： $$\frac{(n-1)^{n-1}}{n^n}\biggl(\sum_{i=1}^{n}a_i\biggr)^n \ge\Bigl[(n-1)^{n-1}-n\Bigr]\prod_{i=1}^{n}a_i +\sum_{i=1}^{n}a_i^{n-1}a_{i+1},\quad \text{其中 }a_{n+1}=a_1.$$

不等式

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SilF 53

• asked Feb 3

广义范德蒙行列式计算

$f_1,f_2,\dots,f_n\in\mathbb C[x],x_1,x_2,\dots,x_n\in \mathbb C$ 化简 $\text{det}(f_j(x_i))_{1\leq i,j\leq n}.$

线性代数

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yanshiqwq 1

• asked Feb 3

一个扫雷问题

对于 n*n (n≥4) 的扫雷棋盘，若最外圈(列1、n与行1、n) 上均为未翻开格，次外圈全是数字1，其余的内部方格全是翻开的空格（即数字0），记所有不同（不考虑对称去重）的雷分布情况数量为 c_n，则是否有 c_{n+3} = c_n 对于 n≥4 恒成立？ （严谨一点的表述如下图） 用 Python 穷举了 n=4~11，都是符合规律的，但是不太会证

组合数学

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SilF 53

• asked Jan 30

一个估阶问题

对任何正整数 $k$ ，在 $x\to 0^+$ 时有 $$\prod\limits_{n\geq 1}\frac1{1-e^{-nx}}=(1+O(x^k))\sqrt{\frac x{2\pi}}e^{\frac {\pi^2}{6x}-\frac x{24}}$$

实分析

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235711 145

• asked Jan 12

三张纸的问题

你找到了三张神奇的魔法纸张，在上面写一些问题可以得到“是”或“否”的答案。在不招致矛盾的问题下，这三张纸无所不知且始终回答。 但是，这三张纸外表完全一致。其中一张纸的答案永远为真，一张纸的答案永远为假，第三张纸的答案会是纯粹的随机。 更糟糕的是，这三张纸所用来回答问题的语言你不认识，你只知道一个记号表示“是”另一个记号表示“否”。 一次机会只能在一张纸上提一个答案为“是”或“否”且不会导致悖论的问题。在三次机会下，是否可以知道这三张纸的回答真假性？

逻辑

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